A noção de número e suas extraordinárias
generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria
vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula,
assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos
aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria
e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.
A
LINGUAGEM DOS NÚMEROS
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas
mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe
permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus
filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha
sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva
e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige
um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente
humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do
número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos
animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro
ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente
abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele
pode distinguir dois de três.
O corvo
assassinado
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo
que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou
surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava
de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava
à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens
entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se
deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O
estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens,
sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram
quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do
corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são
muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de
quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode
desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o
homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa
conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais
como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última,
especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os
testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas
provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo
homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.
Limitações
vêm de longe
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma
notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o
grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente desprovidos
de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem
outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda
essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes
atribuam um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos
remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens
europeias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e
"muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no
francês: trois(três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência?
Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que
já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema
apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais
pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir
que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de
número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual
nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem
não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia,
através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua
percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer
influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
O
número sem contagem
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível
chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando
numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da
sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois
conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor
número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos
sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão
ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que
poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um
procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a
cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou
ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos,
se reduz precisamente a tais associações de ideias. Eles registram o número de
suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de
madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na
origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.
A ideia de correspondência
A correspondência
biunívoca resume-se
numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem
se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número
que pertence à sucessão natural: 1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da
coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem
oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com
conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um, mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o "nada"
constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é
relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi
devida às exigências da numeração escrita. O zero não só
permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as
operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números
romanos! E, no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização
grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa
numeração é muito posterior a todos eles.
Do
relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de
correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por
comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das
pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao
absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada
um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto
fica reduzida à seleção, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser
posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam
simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do
cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa
poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se
desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é
esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida
que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das
palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as
quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata
dos nomes dos números. É impossível saber a
idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões
de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das
palavras que designam os números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias línguas queria
dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes
dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando
notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos
objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.
Disponível em: http://www.somatematica.com.br/historia.php Acesso
em 15/04/2014
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